求的 2 阶泰勒多项式
𝑓
(
𝑥
)
=
−
7
𝑥
3
+
9
𝑥
2
−
2
𝑥
−
8
大约
𝑥
=
0
。

Question

求 的 2 阶泰勒多项式
𝑓
(
𝑥
)
=
−
7
𝑥
3
+
9
𝑥
2
−
2
𝑥
−
8
大约
𝑥
=
0
。

BlackTom AI · Accepted Answer

二阶泰勒（Maclaurin）多项式的通式是 T2(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2) x^2，因此需要计算 f(0)、f'(0)、f''(0)。

1) 给定函数与求导：
f(x) = −7x^3 + 9x^2 − 2x − 8
f'(x) = d/dx(−7x^3) + d/dx(9x^2) + d/dx(−2x) + d/dx(−8)
      = −21x^2 + 18x − 2
f''(x) = d/dx(−21x^2 + 18x − 2)
       = −42x + 18

2) 在 x = 0 处取值（计算所有中间步骤）：
f(0) = −7·0^3 + 9·0^2 − 2·0 − 8 = −8
f'(0) = −21·0^2 + 18·0 − 2 = −2
f''(0) = −42·0 + 18 = 18

3) 代入二阶泰勒多项式公式：
T2(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2) x^2
      = (−8) + (−2)x + (18/2) x^2
      = −8 − 2x + 9x^2

4) 为什么这是正确答案：
二阶多项式只保留到 x^2 次项，原函数中的 −7x^3 属于三次及更高阶项，应被截断（忽略）在二阶近似中。通过直接求导并在 0 点代入得到的常数项、一次项与二次项系数分别为 −8、−2、9，正好构成上式。

5) 关于其他可能的错误选项（简要说明）：
- 若保留 −7x^3，则不再是二阶多项式（阶数太高）。
- 改变系数符号或数值（例如把一次项写成 +2x 或把二次项写成 9/2 x^2）均与导数在 0 点的实际值不符。

结论：二阶泰勒多项式为 9x^2 − 2x − 8，与给定正确答案一致。

求的 2 阶泰勒多项式 𝑓 ( 𝑥 ) = − 7 𝑥 3 + 9 𝑥 2 − 2 𝑥 − 8 大约 𝑥 = 0 。单项选择题

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