三种线性系统扩展矩阵的行梯级形式 \（x\）、\（y\）和\（z\）中的方程如下所示。

对于每个增广矩阵 \（A\）、\（B\）和 \（C\），以下选项中哪些正确描述对应线性系统的解数方程？

$$ \underbrace { \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \bigm | & 0 \ 0 & 1 & 0 & \bigm | & -3 \0 & 0 & \bigm | & -1 \bmatrix} }_{A} \qquad \underbrace { \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \bigm | & 3 \ 0 & 0 & \bigm | & 0 & 0 & \bigm | & 0 & 0 & \bigm | & 0 \end{bmatrix} }_{B} \QQUAD \Underbrace { \BEGIN{Bmatrix} 1 & 0 &0 & \bigm |& 2 \ 0 & 1 & 0 & \bigm |& -1 \ 0 & 0 & 1 & \bigm |& 0 \end{bmatrix} }_{C} $$

Question

三种线性系统扩展矩阵的行梯级形式 \（x\）、\（y\）和\（z\）中的方程如下所示。

对于每个增广矩阵 \（A\）、\（B\） 和 \（C\），以下选项中哪些正确 描述对应线性系统 的解数 方程？

$$ \underbrace { \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \bigm | & 0 \ 0 & 1 & 0 & \bigm | & -3 \0 & 0 & \bigm | & -1 \bmatrix} }_{A} \qquad \underbrace { \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \bigm | & 3 \ 0 & 0 & \bigm | & 0 & 0 & \bigm | & 0 & 0 & \bigm | & 0 \end{bmatrix} }_{B} \QQUAD \Underbrace { \BEGIN{Bmatrix} 1 & 0 &0 & \bigm |& 2 \ 0 & 1 & 0 & \bigm |& -1 \ 0 & 0 & 1 & \bigm |& 0 \end{bmatrix} }_{C} $$

BlackTom AI · Accepted Answer

行阶梯形式的关键在于识别每一行的主元（pivot）变量、自由变量以及是否存在形如 0 = 非零 的矛盾行。由此判断解的情况：若存在 0 = b (b ≠ 0) 则不一致；若每个变量都有主元则唯一解；若某些变量无主元（自由变量）且无矛盾行则有无限多解。

A 的增广矩阵对应的三行方程分别是：
1) 1·x + 0·y + 0·z = 0 → x = 0
2) 0·x + 1·y + 0·z = −3 → y = −3
3) 0·x + 0·y + 0·z = −1 → 0 = −1（矛盾）
第三行是 0 = −1，这直接说明系统不相容（没有任何 (x,y,z) 能使等式成立）。因此 A 不一致（无解）。

B 的矩阵按行给出：
1) 1·x + 0·y + 0·z = 3 → x = 3
剩下两行是 0·x+0·y+0·z = 0（显然恒成立）
因为 y、z 在增广矩阵中没有对应的主元（它们是自由变量），可以设 y = s, z = t（任意实数）。所以任意选取 s、t 都得到一个解 (x,y,z) = (3,s,t)。这说明有无限多个解（参数化为两个自由参数）。

C 的矩阵三行分别是：
1) x = 2
2) y = −1
3) z = 0
每个变量都有主元，没有矛盾行，因此系统有唯一解 (2, −1, 0)。

其他选项之所以不成立：A 既不是唯一解也不是无限多解，因为存在矛盾行导致无解；B 不是唯一解也不矛盾；C 不是无解也不含自由参数（故非无限多解）。

最终结论与给定答案一致：A：不一致，B：无限多个解，C：唯一解。

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