如果 \（f（16） = 14\，\（f'\）连续，且 \（\int _{0}^{16} f' （t） \， dt = 17\，那么 \（f（0）\）的值是多少？

Question

如果 \（f（16） = 14\，\（f'\） 连续，且 \（\int _{0}^{16} f' （t） \， dt = 17\，那么 \（f（0）\） 的值是多少？

BlackTom AI · Accepted Answer

由微积分基本定理第一部分，连续可导函数的导数在区间上的定积分等于函数值的增量：∫_a^b f'(t) dt = f(b) − f(a)。这里题目给出 f' 连续，正满足应用该定理的条件。

已知量整理：
- f(16) = 14
- f' 连续（因此可用基本定理）
- ∫_0^{16} f'(t) dt = 17

把这些代入基本定理的公式，令 a = 0，b = 16：
∫_0^{16} f'(t) dt = f(16) − f(0).

题目给出左边等于 17，因此：
17 = f(16) − f(0).

把 f(16) = 14 代入：
17 = 14 − f(0).

解这个简单的一元一次方程求 f(0)：
14 − f(0) = 17
−f(0) = 17 − 14
−f(0) = 3
f(0) = −3.

所以 f(0) 的值为 −3。

为什么正确：因为导数的定积分确实表示函数在区间的净增量（末值减去初值），在本题给出的连续性条件下这一关系严格成立。任何其它数字都不能同时满足 f(16)=14 与 ∫_0^{16} f'(t) dt = 17 的等式，因此都不正确。

结论：f(0) = −3，与题目给出的正确答案 −3 一致。

如果 \（f（16） = 14\，\（f'\）连续，且 \（\int _{0}^{16} f' （t） \， dt = 17\，那么 \（f（0）\）的值是多少？单项选择题