你被告知 $$ \int _{-5}^{-4} f（x） \， dx = 5， \quad \int _{-5}^{6} f（x） \， dx = 3， \quad \text {and} \quad \int _{6}^{-4} g（x） \， dx = 2. $$ 什么是 $$ \int _{-4}^{6} \left [ f（x） + 3 g（x） \right ] \， dx \，？ $$

Question

你被告知 $$ \int _{-5}^{-4} f（x） \， dx = 5， \quad \int _{-5}^{6} f（x） \， dx = 3， \quad \text {and} \quad \int _{6}^{-4} g（x） \， dx = 2. $$ 什么是 $$ \int _{-4}^{6} \left [ f（x） + 3 g（x） \right ] \， dx \， ？ $$

BlackTom AI · Accepted Answer

积分的线性和区间可加性是关键：积分满足加法性、数乘可提出，以及换向会改变符号（∫_a^b = −∫_b^a）。

1. 相关知识点
- 线性：∫(f+3g) = ∫f + 3∫g。
- 区间可加性：∫_{-5}^{6} f = ∫_{-5}^{-4} f + ∫_{-4}^{6} f。
- 换向法则：∫_{-4}^{6} g = −∫_{6}^{-4} g。

2. 完整推理步骤
已知
∫_{-5}^{-4} f(x) dx = 5,
∫_{-5}^{6} f(x) dx = 3,
∫_{6}^{-4} g(x) dx = 2.

先求 ∫_{-4}^{6} f(x) dx：
利用区间可加性，
∫_{-5}^{6} f = ∫_{-5}^{-4} f + ∫_{-4}^{6} f。
代入已知值，得
3 = 5 + ∫_{-4}^{6} f，
所以
∫_{-4}^{6} f = 3 − 5 = −2。

再求 ∫_{-4}^{6} g(x) dx：
用换向法则，
∫_{-4}^{6} g = −∫_{6}^{-4} g = −2。

因此
∫_{-4}^{6} [f(x) + 3g(x)] dx = ∫_{-4}^{6} f + 3 ∫_{-4}^{6} g
= (−2) + 3·(−2)
= −2 − 6
= −8。

3. 中间计算已如上逐步显示（3−5 = −2；−∫_{6}^{-4} g = −2；3·(−2) = −6；合并得到 −8）。

4. 为什么正确
该结果直接由积分的线性与区间合并性质得到，并正确处理了区间换向所带来的符号变化。每一步都严格代入已给定的定值，逻辑无误。

5. 关于其他选项
题目只给出正确答案 −8。常见错误包括忘记区间换向的负号（会把 ∫_{-4}^{6} g 错记为 +2，导致结果为 +4 或其他），或把系数 3 忽略，都会产生不同但错误的数值。

6. 结论
由上述计算可确认最终答案为 −8，与题目给定的正确答案一致。

你被告知 \[ \int _{-5}^{-4} f（x） \， dx = 5， \quad \int _{-5}^{6} f（x） \， dx = 3， \quad \text {and} \quad \int _{6}^{-4} g（x） \， dx = 2. \] 什么是 \[ \int _{-4}^{6} \left [ f（x） + 3 g（x） \right ] \， dx \，？ \]单项选择题

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