考虑由下式给出的函数
𝑓
(
𝑥
)
=
3
+
2
𝑥
+
3
𝑥
−
11
.
下列哪个是……的逆运算？
𝑓
？

Question

BlackTom AI · Accepted Answer

令 y = (5x - 30)/(x - 11)。求反函数的基本方法是交换 x 与 y，然后解出新的 y（即 f^{-1}(x)）。这里涉及的知识点是有理函数求反函数：换元并解线性方程组，同时注意定义域限制（分母不为零）。

步骤一：交换 x 与 y
x = (5y - 30)/(y - 11).

步骤二：去分母并整理
将等式两边乘以 (y - 11)：
x(y - 11) = 5y - 30.

展开并把含 y 的项移到一边：
xy - 11x = 5y - 30.

把所有 y 项移到左边，常数项移到右边：
xy - 5y = 11x - 30.

提取 y：
y(x - 5) = 11x - 30.

最后解出 y：
y = (11x - 30)/(x - 5).

这就是反函数 f^{-1}(x)。同时说明定义域限制：原函数的自变量不能使分母为零，即 x ≠ 11；反函数的自变量不能使分母为零，即 x ≠ 5，这与求反函数时分母互换的位置一致，符合逆运算的定义域-值域互换关系。

为什么这个答案正确：代入验证或复合函数验证均可。将 f 与 f^{-1} 复合应得到恒等映射：
f(f^{-1}(x)) = (5*((11x - 30)/(x - 5)) - 30)/(((11x - 30)/(x - 5)) - 11) ，化简后可恢复为 x（在允许的定义域内），证明两者互为逆函数。

题中无其他选项；若存在其他候选式，常见错误会在于交换变量时漏乘分母、合并同类项出错或常数符号弄反。综上所述，反函数为 f^{-1}(x) = (11x - 30)/(x - 5)，与给定答案一致。

考虑由下式给出的函数 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 + 2 𝑥 + 3 𝑥 − 11 . 下列哪个是……的逆运算？ 𝑓 ？单项选择题

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