如果 $$ \left[\begin{matrix}1 & 1\3 & -3\end{matrix}\right ] X + \left [\begin{matrix}0 & 0\4 & -4\end{matrix}\right ] = \left [\begin{matrix}-4 & -3\1 & 0\end{matrix}\right ] X， $$ 以下哪一个矩阵是 \（X\）？

Question

BlackTom AI · Accepted Answer

将矩阵方程对应同类项合并：(A)X + B = (C)X 可写为 (A − C)X = −B，这是求解矩阵方程的基本方法（类似线性方程组，利用矩阵逆求解）。

1. 相关知识点
- 线性代数中矩阵方程 AX = D，当 A 可逆时，解为 X = A^{-1}D。
- 2×2 矩阵的逆矩阵公式：若 M = [[a,b],[c,d]]，det(M)=ad−bc ≠ 0，则 M^{-1} = (1/det) [[d,−b],[−c,a]]。
- 矩阵运算按列或行相乘，逐项计算。

2. 完整推理步骤
给定：
A = [[1,1],[3,−3]], B = [[0,0],[4,−4]], C = [[−4,−3],[1,0]]。
移项得：
(A − C)X = −B。

计算 A − C：
A − C = [[1−(−4), 1−(−3)],[3−1, −3−0]] = [[5,4],[2,−3]] ≡ M。

计算 −B：
−B = [[0,0],[−4,4]]。

3. 计算逆矩阵并求 X（显示中间步骤）
先求 det(M)：
det(M) = 5*(−3) − 4*2 = −15 − 8 = −23。

按公式求 M^{-1}：
M^{-1} = (1/−23) * [[−3, −4], [−2, 5]] = [[3/23, 4/23], [2/23, −5/23]]。

求 X = M^{-1}(−B)：
计算乘积（按列乘法）：
第1列： X[:,1] = M^{-1} * [0, −4] = [ (3/23)*0 + (4/23)*(−4), (2/23)*0 + (−5/23)*(−4) ] = [ −16/23, 20/23 ]。
第2列： X[:,2] = M^{-1} * [0, 4] = [ (3/23)*0 + (4/23)*4, (2/23)*0 + (−5/23)*4 ] = [ 16/23, −20/23 ]。

因此
X = [[−16/23, 16/23], [20/23, −20/23]]。

4. 为什么正确
将所得 X 代回原方程可验证等式成立。计算 A X + B 与 C X，结果均为 [[4/23, −4/23], [−16/23, 16/23]]，两边相等，故解正确。

5. 其它选项为何不对
若存在其他候选矩阵，则它们代入后不会满足 (A)X + B = (C)X（即不满足 (A−C)X = −B），因此均为错误解。

6. 结论
最终解 X = [[−16/23, 16/23], [20/23, −20/23]]，与题目给出的正确答案完全一致。

如果 \[ \left[\begin{matrix}1 & 1\\3 & -3\end{matrix}\right ] X + \left [\begin{matrix}0 & 0\\4 & -4\end{matrix}\right ] = \left [\begin{matrix}-4 & -3\\1 & 0\end{matrix}\right ] X， \] 以下哪一个矩阵是 \（X\）？Single choice

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